ĆWICZ CODZIENNIE SWÓJ UMYSŁ,
BY WIDZIEĆ DOBRO WE WSZYSTKIM
Na co dzień jestem Liczbologiem. Studiuję, badam i nauczam wszystkiego, co ma związek z liczbami. Zdają się one żyć i być całkowicie niezależnie od nas...
01. LOGIKA
Logika to miejsce, w którym naprawdę można nauczyć się myśleć. To ten fragment matematyki, który najbardziej ze wszystkich działów, zajmuje się poszukiwaniem prawdy.
Dzięki temu kształtuje w dziecku ciekawość, pozwala poprawnie wyciągać wnioski i uczy zależności przyczyna-skutek. Jest też przede wszystkim niesamowicie dobrą zabawą, pozwalającą na permanentne doskonalenie się.
W związku z tym prawdziwe wydaje mi się stwierdzenie, że jeżeli poznamy logikę, to nauka nie tylko matematyki, będzie dużo prostsza.
ALTERNATYWA
KONIUNKCJA
RÓWNOWAŻNOŚĆ
IMPLIKACJA
NEGACJA
02. ZBIORY
Zbiory - po odpowiednim przekazaniu wiadomości na ich temat możemy sprawnie dostrzegać cechy wspólne jak i te rozłączne, dwóch lub więcej obiektów.
Jest to niezwykle istotna umiejętność, ponieważ podczas swojego rozwoju psychospołecznego, zaczynamy dostrzegać różnice i podobieństwa w otoczeniu. Nie poddajemy ich jednak jakiejkolwiek ocenie. Jesteśmy po prostu świadomi, że są rzeczy, które coś łączy i takie, które coś dzieli. Ponadto nauka o nich kształtuje poczucie wspólnoty i tolerancję dla czegoś lub kogoś odmiennego.
RELACJE
SUMA
ILOCZYN
RÓŻNICA
DOPEŁNIENIE
03. ARYTMETYKA
Arytmetyka to czas wykonywania działań. Są one różne. Niemniej jednak wszystkie sprowadzają się do umiejętności dodawania.
To natomiast może wykształcić w nas poczucie pewności siebie, ponieważ żeby dobrze dodawać trzeba wykonać dziesiątki, setki czy nawet tysiące przykładów. W dużej części z nich popełnimy błędy – szczególnie na początku. Ani Ty, ani ja, ani Einstein nie urodziliśmy się z umiejętnością liczenia do dziesięciu.
Tak jest z każdą czynnością w życiu. Musimy ją powtarzać, musimy ją praktykować, musimy się z nią zżyć, żeby robić ją naprawdę dobrze.
DODAWANIE
MNOŻENIE
POTĘGI
PIERWIASTKI
LOGARYTMY
04. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA
Prawdopodobieństwo to dział, który jest chyba najbardziej idealnym obrazem tego, jak wysoce odległe od rzeczywistości idee może przedstawiać matematyka.
Przedstawia bowiem szanse zajścia jakiegoś zdarzenia. Zakłada jednak równe szanse dla każdej z możliwości. Zakłada symetrię.
Uczy w pewnym stopniu przewidywać. Wykształca również umiejętność podejmowania decyzji i szacowania stopnia ich ryzyka. Pozwala również dostrzec, że świat w którym żyjemy nie jest idealny, a wszelkie nieprawidłowości, które w nim występują są po prostu małymi cudami.
ZDARZENIA LOSOWE
PERMUTACJE
KOMBINACJE
WARIACJE
PRAWDOPODOBIEŃSTWO
05. WEKTORY
Wektory to twory typowo matematyczne, które rzekomo odkrył Leonardo da Vinci. A nawet jeżeli nie on, to doskonale wiedział jak je wykorzystać w swoich projektach.
Są to typowo abstrakcyjne pojęcia, tak jak i skalary – czyli liczby – dzięki którym nastąpiła bardzo szybka ekspansja klasycznej fizyki. Jest to między innymi pewne graficzne przedstawienie działań matematycznych, dzięki którym płynnie można przejść do wszelkiej geometrii.
SKALAR
WEKTOR
ILOCZYN SKALARNY
ILOCZYN WEKTOROWY
TENSOR
06. GEOMETRIA SYNTETYCZNA
Geometria syntetyczna jest częścią geometrii, w której nie wykorzystuje się zbędnych obliczeń.
Przy użyciu ołówka, cyrkla i linijki bez podziałki, dokonuje się niesamowitych rzeczy. Czynności, które będziemy tu wykonywać wyostrzają dokładność i precyzję.
Ponadto, z niezwykła starannością ćwiczą sprawność motoryczną naszych dłoni.
PUNKT
PROSTA
PŁASZCZYZNA
PRZESTRZEŃ
DOWODY
07. GEOMETRIA WYKREŚLNA
Geometria wykreślna to najmłodsza ze wszystkich geometrii. Ma bowiem kilkaset lat.
Cierpliwość i perfekcja w tym momencie szlifowane są do granic ludzkiej nie tyle możliwości co cierpliwości. Praktykując ją, możemy wykształcić w naszym umyśle widzenie przestrzenne. Bardzo praktyczną umiejętność do orientacji w terenie.
Pielęgnacja tej części nauki jest niezwykle istotna, ponieważ możliwości jakie płyną z przenikania i łączenia się tutaj kształtów pozwalają na wykształcenie zupełnie odmiennego postrzegania wymiarów.
KONSTRUKCJE
RZUTOWANIE
AKSONOMETRIA
PRZENIKANIE
RYSUNEK TECHNICZNY
08. GEOMETRIA FIGUR PŁASKICH
Geometria figur płaskich czyli planimetria lub geometria euklidesowa, to uporządkowanie kształtów oraz ich podział ze względu na posiadane cechy.
To również wiele zależności, które wykorzystywane są w wielu dziedzinach od kilku tysiącleci. Znajomość własności figur geometrycznych ułatwia przyswojenie podstawowych działań. Pozwala na rozwój estetyki oraz wykształca rozumienie pojęć abstrakcyjnych.
Wzbogaca naszą wyobraźnię.
TABELA KSZTAŁTÓW
OBWÓD I POLE
TWIERDZENIE PITAGORASA
TWIERDZENIE TALESA
SINUS, COSINUS I TANGENS
09. GEOMETRIA FIGUR PRZESTRZENNYCH
Geometria figur przestrzennych czyli stereometria to miejsce, gdzie wchodzimy w nowy wymiar matematyki.
Nasze oczy są przystosowane tak, by widzieć kształty trójwymiarowe. Nie spuszczajmy, więc wzroku z piękna brył. To tutaj ukryta jest głębia matematyki. Idee jakie zostały stworzone w tym dziale zgrabnie odzwierciedlają naszą filozofię i pojmowanie obecnie znanego nam wszechświata.
Nie umniejszając majestatu tego działu matematyki muszę jednak przyznać, że jest on dopiero początkiem przygody, jaką możemy rozpocząć przez wielowymiarowość i złożoność naszego świata.
ELEMENTARNE BRYŁY
POLE POWIERZCHNI
OBJĘTOŚĆ
PRZEKRÓJ PŁASZCZYZNĄ
INKLUZJA BRYŁ
10. GEOMETRIA ANALITYCZNA
Geometria analityczna to wstęp do świata niewiadomych, to płynne przejście ze znanych nam kształtów, na opis świata, który jest dopiero do odkrycia.
W tym miejscu zaczynamy się dowiadywać, że wszystko co widzimy, co przejawia się jakąkolwiek zmianą, możemy zapisać i odczytać w postaci wykresów.
Ponadto, to niezwykła podróż do czasów, w których została sprezentowana światu, dotychczas jeszcze używana, naukowa metoda badawcza Kartezjusza.
UKŁAD WSPÓŁRZĘDNYCH
POLE TRÓJKĄTA
OKRĄG
ELIPSA
PŁASZCZYZNY
11. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE
Wyrażenia algebraiczne to czas, w którym płynnie przejdziemy z działań na liczbach, do działań na literach.
To chwila, w której będziemy mogli poznać rzeczy przyspieszające wszelkie obliczenia. Przede wszystkim też, miejsce w matematyce, które idealnie obrazuje, że ta nauka to nie tylko liczby. To również niewiadome, dzięki którym liczby nabierają większego sensu.
To początek nowych odkryć i możliwość ciekawej zabawy z alfabetem.
NIEWIADOME
REDUKCJA
WZORY SKRÓCONEGO MNOŻENIA
TRÓJKĄT PASCALA
DWUMIAN NEWTONA
12. RÓWNANIA
Równania to czas na pokazanie równowagi.
Intuicyjnie potrafimy rozwiązywać je od dziecka, czemu zatem w późniejszym etapie edukacji ta umiejętność powoli zanika?
W tym momencie możemy się nauczyć na dobrą sprawę czym jest sprawiedliwość, czym jest harmonia i dlaczego warto do niej dążyć.
WZÓR I ZALEŻNOŚĆ
OBLICZENIE
PRZEKSZTAŁCENIE
WYZNACZENIE
ALGORYTM
13. NIERÓWNOŚCI
Nierówności w odróżnieniu od równań pokazują nam zachwianie równowagi.
Nie oznacza to, iż jej w nich nie ma. Po prostu zostaje trochę rozszerzona. Nie ma równowagi bez nierównowagi, tak jak nie ma porządku bez chaosu. To dwie rzeczy, które się ze sobą przeplatają i w jakimś stopniu uzupełniają.
Tutaj możemy się dowiedzieć jak.
NIEPEWNOŚĆ
PODOBIEŃSTWO RÓWNAŃ
PRZEDZIAŁY
ALGEBRA ZBIORÓW
PŁASZCZYZNY
14. UKŁADY RÓWNAŃ
Układy równań są w pewnym sensie kwintesencją algebry. Dzięki nim możemy rozwiązywać rzeczy pozornie niemożliwe.
Co zrobić w przypadku, gdy mamy dwie, trzy lub więcej niewiadomych? W życiu często spotykamy się z takimi sytuacjami. Wystarczy, że powiążemy ze sobą kilka rzeczy, uzależnimy je od pozostałych i nagle… puff… przejrzyste rozwiązanie stanie nam przed oczami.
Z niemałą ilością możliwości ich rozwiązywania [tych układów] zaczniemy powoli wchodzić w świat funkcji, który jest przecież opisem otaczającej nas rzeczywistości.
INTERPRETACJA GRAFICZNA
MACIERZE
WYZNACZNIKI
ROZWINIĘCIE LAPLACE`A
ELIMINACJE GAUSSA
15. LICZBY ZESPOLONE
Liczby zespolone to ostatni krok przed światem funkcji. Niemniej jednak bez nich trudno byłoby nam się dziś odnaleźć.
Praktycznie cała dzisiejsza technologia korzysta z odkrycia liczb zespolonych. Dowiemy się w jaki sposób zostały one odkryte i otworzymy przed sobą nowe spojrzenie na świat. Miejmy nadzieję takie, jakim obdarzeni byli twórcy tych liczb.
To będzie czas, w którym nasze umysły otworzą się na nowe idee. Miejsce, gdzie można zostać na dłużej i delektować się koncepcją, która na zawsze zmieniła nasz świat.
DWUWYMIAROWA LICZBA
NOWE DZIAŁANIA
POSTAĆ TRYGONOMETRYCZNA
WZORY DE MOIVRE`A
BOSKIE RÓWNANIE
16. FUNKCJE LINIOWE
Funkcja liniowa to przedstawienie zależności pomiędzy dwoma wielkościami. To też czas i miejsce, by zdefiniować czym jest funkcja. Przedstawić różne jej interpretacje.
Na co dzień bardzo wiele rzeczy zmienia się w sposób linearny. Na podstawie kilku działów z fizyki, zobaczymy jakie.
DEFINICJA FUNKCJI
POSTAĆ OGÓLNA
POSTAĆ KIERUNKOWA
RÓWNOLEGŁOŚĆ
PROSTOPADŁOŚĆ
17. FUNKCJE Z WARTOŚCIĄ BEZWZGLĘDNĄ
Wartość bezwzględna to rodzaj funkcji, który często będzie występował w pomiarze i przybliżeniach.
Fizycznie wykorzystujemy ją między innymi do aproksymowania wyników i wyliczania ich dokładności.
To miejsce, w którym będziemy mogli się dowiedzieć czym w istocie jest znak przy liczbie i co on reprezentuje.
DEFINICJA MODUŁU
FUNKCJA PODSTAWOWA
PRZEKSZTAŁCENIA
WIELOMODUŁOWOŚĆ
PARAMETR
18. FUNKCJE KWADRATOWE
Funkcja kwadratowa to najczęściej występująca w przyrodzie zależność.
Przyglądaliście się kiedyś w jaki kształt wyginają się źdźbła trawy? Może strzelaliście z łuku lub pistoletu? Sprzedajecie produkt w sklepie i zastanawiacie się jaką cenę dobrać? A może po prostu ciekawi Was co z przysłowia spadnie szybciej: „Kilogram pierza, czy kilogram ołowiu”?
To i całe mnóstwo innych rzeczy jest związane z funkcją kwadratową. Skoro tyle jej jest, myślę, że warto zapoznać się z nią bliżej.
LICZBY KWADRATOWE
POSTAĆ OGÓLNA
POSTAĆ KANONICZNA
POSTAĆ ILOCZYNOWA
WZORY VIETE`A
19. FUNKCJE WIELOMIANOWE
Wielomiany wyższych stopni są rozszerzeniem funkcji kwadratowej, liniowej i liczb.
Często sprowadzają się do zrozumienia swoich poprzedników. Służą do opisywania coraz bardziej złożonych kształtów i w gruncie rzeczy są bardzo przyjemną częścią matematyki.
W kolejnych działach dowiemy się również, że z dużym przybliżeniem, każdą funkcję możemy zapisać w postaci wielomianu.
POSTAĆ OGÓLNA
WZORY CARDADNO
TWIERDZENIE BEZOUTA
SCHEMAT HORNERA
WĘŻYKI
20. FUNKCJE WYMIERNE
Funkcje wymierne to proporcjonalność odwrotna.
Jak w przypadku funkcji liniowych mogliśmy mówić o wielkościach proporcjonalnych – czyli takich, które ‘rosną’ wraz ze wzrostem czegoś, od czego zależą – tak w tym przypadku, poznamy coś zupełnie odmiennego.
Ponadto będziemy poznawać pojęcia granic i przyjrzymy się bliżej nieskończoności. Funkcje wymierne są według mnie jednymi z najciekawszych do przeprowadzania analiz. Bardzo często występują w naszym życiu codziennym, więc sprawdzimy gdzie się ukrywają.
LICZBY ODWROTNE
POSTAĆ OGÓLNA
POSTAĆ KANONICZNA
ZBIEŻNOŚĆ
ASYMPTOTY
21. FUNKCJE POTĘGOWE
Funkcje potęgowe to te, które zmieniają się bardzo szybko.
Być może stąd ich potęga w nazwie. Wykorzystamy je niejednokrotnie do mierzenia poziomu natężenia dźwięku, w symulacjach trzęsień ziemi oraz badania kwasowości substancji, ponieważ tam między innymi przydają się logarytmy.
Ponadto nasza wiedza z roku na rok zmienia się właśnie wykładniczo. Oznacza to, że wiemy coraz więcej, a im więcej wiemy, tym szybciej rośnie tempo tej zmiany.
ZAŁOŻENIA
F. NIEWYMIERNE
F. WYKŁADNICZE
F. LOGARYTMICZNE
T.O.R.F.
22. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE
Funkcje trygonometryczne to przedostatnie i zdecydowanie najtrudniejsze ze wszystkich dotychczas przedstawionych.
Nie oznacza to jednak, że są skomplikowane. Spowodowane jest to tym, iż do tej pory mieliśmy już styczność ze wszystkimi działami, które przydadzą się nam w ich zrozumieniu. Teraz wystarczy zacząć poruszać się płynnie w ich rytmie, jak surfer przepływający przez falę morską. Dlaczego przez falę? Ponieważ wykresy tych funkcji przypominają właśnie taki kształt.
Są to niesamowicie fascynujące funkcje, u których podstaw leży zrozumienie dzisiaj otaczającego nas świata. Pojawiają się wszędzie tam, gdzie występują kąty. Te natomiast są wszędzie, więc trygonometria ma najbardziej powszechne zastosowanie w nauce.
JEDYNKA TRYGONOMETRYCZNA
ZNAKI
WYKRESY FUNKCJI
SCHEMATY BAJORA
TOŻAMOŚCI
23. FUNKCJE CYKLOMETRYCZNE
Funkcje cyklometryczne czyli funkcje kołowe.
Są dosyć oczywiste, jeżeli zrozumie się idee płynące z trygonometrii. Mają na celu m.in. przedstawianie kątów, ale to nie jest ich jedyne zastosowanie.
Przydadzą się nam do liczenia całek za kilka działów.
FUNKCJE ODWROTNE
ARCUS
ARC SIN
ARC COS
ARC TG
24. CIĄGI I GRANICE
Ciągi i granice to chwila refleksji nad tym kiedy coś się kończy i kiedy zaczyna. Po raz kolejny przypatrzymy się nieskończoności i zeru.
Dostrzeganie zależności już może nie być nam obce – jeżeli jednak w dalszym ciągu będą pojawiały się z tym trudności, to chyba ten właśnie dział powinien je rozwiać.
To miejsce na sekwencje znaków i liczb, które łączą konkretne działania. Wzory, które sami będziemy mogli odkrywać zdają się nie mieć końca. Być może z powodu tak dużej ilości liczb.
ZŁOTY PODZIAŁ
CIĄG ARYTMETYCZNY
CIĄG GEOMETRYCZNY
GRANICA CIĄGU
POZOSTAŁE GRANICE
25. POCHODNE
Pochodne czy wręcz rachunek różniczkowy – zapoczątkowany najprawdopodobniej niezależnie przez Isaaca Newtona i Wilhelma Leibniza – to czas, w którym poznamy możliwości liczenia i dostrzegania nieskończenie małych zmian.
Wyznaczanie ich szybkości, to podstawa w rozwoju naszej dzisiejszej technologii. Dzięki temu możemy zminimalizować nakład pracy i uzyskać możliwie najlepszy produkt. To wszystko dzięki wykształceniu umiejętności liczenia wartości minimalnych i maksymalnych, tzw. ekstremów.
Czy jest ktoś, kto nie chciałby znać swoich mocnych i słabych stron? Jeżeli tak, to być może zafascynują Was interpretacje geometryczne, to proste.
P. WIELOMIANOWE
P. ZŁOŻONE
EKSTREMA
MONOTONICZNOŚĆ
RÓŻNICZKA ZUPEŁNA
26. SZEREGI
Szeregi to chyba najbardziej satysfakcjonujący dział matematyki. Tak naprawdę mamy z nimi do czynienia już od dawna i wielu miejscach do tej pory już się pojawiły.
Nieskończoności nie będą już nam straszne po bliższym poznaniu szeregów. Nauczymy się tutaj całego szeregu symboli matematycznych, dzięki którym zrozumiemy prawie w pełni jej język. Przerażające równania przestaną nas straszyć.
Ponadto zobaczymy jak powstał rachunek całkowy, do którego zajrzymy już w następnym dziale.
ROZWINIĘCIE TAYLORA
SZ. NAPRZEMIENNY
SZ. HARMONICZNY
ZBIEŻNOŚĆ SZEREGU
SUMA CZĘŚCIOWA
27. CAŁKI
Całki czyli rachunek całkowy. To integralna część rachunku różniczkowego.
Tak jak w przypadku dodawania, przeciwnym działaniem jest odejmowanie, tak w przypadku pochodnych, odwrotnym do nich działaniem jest całkowanie. Też polega na dostrzeganiu korzyści z podziału czegoś na infinitezymalne części.
Główną ideą całek jest dodawanie, także nie mogą być one zbyt trudne, nieprawdaż? W końcu to dzięki nim rakiety mogą latać w kosmos – drobnostka.
C. WIELOMIANOWE
C. PRZEZ PODSTAWIENIE
C. WYMIERNE
C. PRZEZ CZĘŚCI
OBSZAR OGRANICZONY
28. GRANICE I POCHODNE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH
Granice i pochodne funkcji wielu zmiennych...
WIELE ZMIENNYCH
P. KILKU ZMIENNYCH
P. CZĄSTKOWE
HESJAN
EKSTREMA
29. CAŁKI FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH
Całki funkcji wielu zmiennych...
C. PODWÓJNE
WSPÓŁRZĘDNE BIEGUNOWE
C. POTRÓJNE
WSPÓŁRZĘDNE WALCOWE
ITERACJA
30. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE
Równania różniczkowe...